Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=-1，且a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求和：S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）欲證數(shù)列為等比數(shù)列，只需證明數(shù)列的后一項與前一項的比為常數(shù)，根據(jù)a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*），令n=n-1，再構造數(shù)列{a_n+1-a_n+3}，計算

an+1-an+3

an-an-1+3

，看是否為常數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所證數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是等比數(shù)列，先求出數(shù)列{a_n+1-a_n+3}的通項公式，再求出{a_n}的通項公式即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）中求出的數(shù)列{a_n}的通項公式，利用分組法求數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）∴當n≥2時，a_n=2a_n-1+3n-7
兩式相減，得，a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+3，即，a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3）
∴

an+1-an+3

an-an-1+3

=2，
又a₂=2a₁+3-4=-3，∴a₂-a₁+3=1
∴數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是首項為1公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：∵數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是首項為1公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1-a_n+3=2^n-1，
∴a_n+1-a_n=2^n-1-3
∴a_n-a_n-1=2^n-2-3
a_n-1-a_n-2=2^n-3-3
…
a₂-a₁=2⁰-3
∴上面各式累加得a_n-a₁=

1-2n-1

1-2

-3（n-1）
∴a_n=2^n-1-3n+1；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，
a₁=-1，a₂=-3，a₃=-4，a₄=-3，a₅=2，a₆=15，
∴n≥5時，a_n≥0，
∴當1≤n≤4時，
S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）
=-（2⁰+2¹+…+2^n-1）+3（1+2+3+…+n）-n=-

1-2n

1-2

+3•

n(n+1)

2

-n=1-2ⁿ+

3

2

n2+

1

2

n，
當n≥5時，
S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-2（a₁+…+a₄）+（a₁+a₂+…+a_n）
=-2（-1-3-4-3）-（1-2ⁿ+

3

2

n2+

1

2

n），
=21+2ⁿ-

3

2

n2-

1

2

n
∴s_n=

1-2n+ 3 2 n2+ 1 2 n 1≤n≤4 21+2n- 3 2 n2- 1 2 n n≥5

．

點評：本題主要考查了構造法求數(shù)列的通項公式，以及分組求和，屬于數(shù)列的常規(guī)題．