Question

【題目】如圖已知四棱錐 P ABCD 的底面是邊長為 6 的正方形，側(cè)棱 PA 的長為 8，且垂直于底面，點(diǎn) M . N 分別是 DC .AB 的中點(diǎn)。

求：（1）異面直線 PM 與 CN 所成角的正切值；

（2）四棱錐 P ABCD 的表面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）144

【解析】

（1）解法 一：連接AM，∵底面ABCD是邊長為6的正方形，點(diǎn)M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，可得，于是四邊形AMCN是平行四邊形，可得CN∥AM，因此∠PMA（為銳角）是異面直線PM與CN所成角，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出即可；

解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角公式即可得出異面直線所成的角；

（2）由PA垂直于底面，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用線面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面積計算公式分別計算即可．

解：（1）解法 一：連接AM，∵底面ABCD是邊長為6的正方形，點(diǎn)M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，

∴，

∴四邊形AMCN是平行四邊形，

∴CN∥AM，

∴∠PMA（為銳角）是異面直線PM與CN所成角．

因為PA垂直于底面，所以PA⊥AM，

點(diǎn)M分別是DC的中點(diǎn)，DC＝6，∴．

在Rt△PAM中，PA＝8，，

∴，

即異面直線PM與CN所成角的正切值為．

解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），

∴，，

直線PM與CN所成角為θ，向量的夾角為，

∵，

又，

即異面直線PM與CN所成角的正切值為．

（2）因為PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PAD，

又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC＝B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．

同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PDC，

∵底面四邊形ABCD是邊長為6的正方形，所以S＝36

又S側(cè)＝S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD．

S表＝108+36＝144

所以四棱錐P﹣ABCD的表面積是144．