Question

某汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車(chē)的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為13萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為5000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷(xiāo)售量也相應(yīng)增加．已知年利潤(rùn)=（每輛車(chē)的出廠價(jià)-每輛車(chē)的投入成本）×年銷(xiāo)售量．
（Ⅰ）若年銷(xiāo)售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加
的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（Ⅱ）年銷(xiāo)售量關(guān)于x的函數(shù)為，則當(dāng)x為何值時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，要使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？首先表示出本年度的年利潤(rùn)，根據(jù)原題中已知的年利潤(rùn)=（每輛車(chē)的出廠價(jià)-每輛車(chē)的投入成本）×年銷(xiāo)售量可表示出來(lái)．然后列出不等式得到x的取值范圍．
（Ⅱ）根據(jù)題意，要使本年度的年利潤(rùn)最大，首先表示出本年度年利潤(rùn)的函數(shù)表達(dá)式，然后求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零時(shí)x的值，并且考慮導(dǎo)數(shù)大于零和小于零時(shí)函數(shù)的增減性可知此時(shí)的x值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是函數(shù)的最值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：本年度每輛車(chē)的投入成本為10×（1+x）；
出廠價(jià)為13×（1+0.7x）；年銷(xiāo)售量為5000×（1+0.4x），
因此本年度的利潤(rùn)為
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x²+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x²+1500x+15000＞15000得
（Ⅱ）本年度的利潤(rùn)為f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x²+2x+）=3240×（0.9x³-4.8x²+4.5x+5）
則f′（x）=3240×（2.7x²-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由，
當(dāng)是增函數(shù)；當(dāng)是減函數(shù)．
∴當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元，
因?yàn)閒（x）在（0，1）上只有一個(gè)極大值，所以它是最大值，
所以當(dāng)時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20000萬(wàn)元．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值的解題思想．