Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，圓的圓心為，為等邊三角形.

（1）求拋物線的方程

（2）設(shè)圓與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上介于、兩點(diǎn)之間的一點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線與圓交于、兩點(diǎn)，在圓上是否存在點(diǎn)，使得直線、均為拋物線的切線，若存在求點(diǎn)坐標(biāo)（用、表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在圓上一點(diǎn)滿足、均為為拋物線的切線，詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將圓的方程表示為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出其圓心的坐標(biāo)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由為等邊三角形得出為圓的半徑可求出的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；

（2）設(shè)、，設(shè)切線、的方程分別為和，并寫(xiě)出拋物線在點(diǎn)的切線方程，設(shè)，并設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切，利用可求出、的表達(dá)式，從而可用表示直線、，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，即可得出點(diǎn)的存在性，并得出點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，

為等邊三角形，則，即，解得，

因此，拋物線；

（2）設(shè)、.過(guò)點(diǎn)、作拋物線的兩條切線（異于直線）交于點(diǎn)，并設(shè)切線，，

由替換法則，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，

即，記，①

設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切，

代入拋物線方程，得，

，即，，，

由①可得，，，②，同理可得，，

切線，，

聯(lián)立兩式消去可得，，③

代入可得，

代入②有，，

聯(lián)立與圓可得，，

，

分別代入③、④可得，，

，

即切線、的交點(diǎn)在圓上，

故存在圓上一點(diǎn)，滿足、均為拋物線的切線.