Question

【題目】如圖，在中，AB＞AC，H為的垂心，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)S在邊BC上且滿足∠BHM=∠CHS，點(diǎn)A在直線HS上的投影為P.證明：的外接圓與的外接圓相切.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

如圖，聯(lián)結(jié)AH并延長(zhǎng)，與的外接圓交于點(diǎn)D

作，與的外接圓交于點(diǎn)E.

易知，點(diǎn)D、H關(guān)于直線BC對(duì)稱.

故∠HCB=∠BCD=∠CBE.

則.

因此，AE為外接圓的直徑.

又由CH=CD=EB，結(jié)合知四邊形CHBE為平行四邊形.

于是，EH過(guò)點(diǎn)M.

設(shè)B’、C’為點(diǎn)B、C在邊AC、AB上的投影.

延長(zhǎng)EH，與的外接圓交于點(diǎn)Q.

由∠AQH=∠AQE=90°=∠APH，得A、Q、B’、H、C’、P六點(diǎn)共圓，且該圓以AH為直徑.

由

由

結(jié)合，有.

則.

從而，Q、S、D三點(diǎn)共線.

由

得P、Q、S、M四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓T.

過(guò)點(diǎn)O作外接圓的切線.

由，知TQ也為圓T的切線.

故的外接圓與的外接圓相切.