Question

【題目】已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：

(1)y1y2＝－p2，；(2)為定值；

(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】試題分析：（1）求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)直線方程是，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線方程，即可得證；（2）運(yùn)用拋物線的定義和韋達(dá)定理，計(jì)算即可得到定值；（3）求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，以及的長，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用直線和圓相切的條件：即可得證.

試題解析：　(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0).由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋，

代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)

則y1，y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以y1y2＝－p2.

因?yàn)?/span>y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

(2)＋＝＋＝.

因?yàn)?/span>x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

得＋＝＝ (定值).

(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MN|＝ (|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切