設(shè)A=(1,2,3,…,10),若方程x2-bx-c=0,滿足b、c屬于A,且方程至少有一根a屬于A,稱方程為漂亮方程,則“漂亮方程”的總個數(shù)為( )
A.8個
B.10個
C.12個
D.14個
【答案】分析:根據(jù)題意,用十字相乘法,先把c分解因數(shù),依據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系,這兩個因數(shù)的差就是b,進而可以確定方程,再依次分析c等于2、3、…10,分別分析、列舉其“漂亮方程”的個數(shù),由加法原理,計算可得答案.
解答:解:用十字相乘法,先把c分解因數(shù),依據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系,這兩個因數(shù)的差就是b;
c=2 時,有2×1=2,b=2-1=1,則漂亮方程為x2-x-2=0;
c=3時,有3×1=3,b=3-1=2,則漂亮方程為x2-2x-3=0;
c=4時,有4×1=4,b=4-1=3,則漂亮方程為x2-3x-4=0,4=2×2,不符合集合元素的互異性,故排除;
c=5時,有5×1=5,b=5-1=4,則漂亮方程為x2-4x-5=0;
c=6時,有6×1=6,b=6-1=5,則漂亮方程為x2-5x-6=0,
同時,有2×3=6,b=3-1=2,則漂亮方程為x2-x-6=0;
c=7時,有7×1=7,b=7-1=6,則漂亮方程為x2-6x-7=0,
c=8時,有8×1=8,b=8-1=7,則漂亮方程為x2-7x-8=0,
同時,有2×4=8,b=4-2=2,則漂亮方程為x2-2x-8=0;
c=9時,有9×1=9,b=9-1=8,則漂亮方程為x2-8x-9=0,9=3×3,不符合集合元素的互異性,故排除;
c=10時,有10×1=10,b=10-1=9,則漂亮方程為x2-10x-9=0,
同時,有2×5=10,b=5-2=3,則漂亮方程為x2-3x-10=0;
綜合可得,共12個漂亮方程,
故選C.
點評:本題考查分類計數(shù)原理的應用,注意分析題意,得到“漂亮方程”的定義,進一步分析得到答案.
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