Question

8．求下列函數(shù)的周期，最小值及對應的x值的集合，單調(diào)區(qū)間及對稱中心．
（1）y=-3sin2x+1；
（2）y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），x∈[-2π，2π]．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值和對稱中心，取得所給函數(shù)的周期，最小值及對應的x值的集合，單調(diào)區(qū)間及對稱中心．

解答 解：（1）對于y=-3sin2x+1，它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
 最小值為-3+1=-2，此時，2x=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x取值的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{4}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．
令2x=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$，可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（ $\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．
（2）y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），x∈[-2π，2π]，它的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
最小值為-1，此時，$\frac{1}{2}$x=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=4kπ-π，k∈Z；再結(jié)合x∈[-2π，2π]，可得x取值的集合為{-π}．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
再結(jié)合x∈[-2π，2π]，可得增區(qū)間為[-$\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{8π}{3}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]，k∈Z；
再結(jié)合x∈[-2π，2π]，可得增區(qū)間為[$\frac{2π}{3}$，2π]．
令 $\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=2kπ-$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（2kπ-$\frac{π}{3}$，0），k∈Z；
再結(jié)合x∈[-2π，2π]，可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（-$\frac{π}{3}$，0）、（$\frac{5π}{3}$，0）．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值和對稱中心，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．