Question

已知數(shù)列{a_n}中，對于任意n∈N^*，a_n=4a_n³-3a_n．
（1）求證：若|a_n|＞1，則|a_n+1|＞1；
（2）若存在正整數(shù)m，使得a_m=1，求證：
（�。﹟a_m|≤1；
（ⅱ）a1=cos

2kπ

3m-1

（其中k∈Z）（參考公式：cos3α=4cos³α-3cosα）．

Answer 1

分析：（1）因為|a_n|＞1，利用a_n+1=4a_n³-3a_n，可以證明；
（2）（�。├�用反證法，由（1）知若|a_k|＞1，則|a_k+1|＞1．所以當|a₁|＞1時，有|a_n|＞1（n∈N^*），這與已知a_m=1矛盾；（ⅱ）由特殊歸納得a_n=cos3^n-1θ，再進行驗證，從而推得結(jié)論．

解答：證明：（1）因為|a_n|＞1，a_n+1=4a_n³-3a_n
所以|a_n+1|=|4a_n+1³-3a_n+1|=|a_n|（4|a_n|²-3）＞1．（2分）
（2）①假設|a₁|＞1，則|a₂|=|4a₁³-3a₁|=|a₁|（4|a₁|²-3）＞1
若|a_k|＞1，則|a_k+1|=|4a_k+1³-3a_k+1|=|a_k|（4|a_k|²-3）＞1．
所以當|a₁|＞1時，有|a_n|＞1（n∈N^*），這與已知a_m=1矛盾，
所以|a_m|≤1．（6分）
②由①可知，存在θ，使得a₁=cosθ．
則a₂=4cos³θ-3cosθ=cos3θ
假設n=k時，有a_n=cos3^n-1θ即a_k=cos3^k-1θ
則a_k+1=4a_k³-3a_k=4（cos3^k-1θ）³-3（cos3^k-1θ）=cos3^kθ
所以對任意n∈N^*，a_n=cos3^n-1θ，
則a_m=cos3^m-1θ=1，3^m-1θ=2kπ，其中k∈Z
即θ=

2kπ

3m-1

，
所以a1=cos

2kπ

3m-1

（其中k為整數(shù)）．

點評：本題主要考查反證法，考查利用數(shù)學歸納法的思想證明猜想結(jié)論，綜合性強．