Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點．
（1）求二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在點N，使DN∥平面AMC，若存在，確定點N的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1）…（1分）
∴，
設(shè)平面AMC的一個法向量
由，取x=1，則y=-1，z=2，∴=（1，-1，2）…（3分）
又∵=（1，-1，0）•（1，1，0）=0，
∴是平面PAC的一個法向量，…（5分）
∴cos＜，＞=，
所求二面角的余弦值為…（6分）
（2）存在，且N為PC中點
設(shè)，=（λ-1，λ，1-λ）…（9分）
依題意知，，
∴λ=，
∴，即N為PC中點…（12分）
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，求出平面AMC的一個法向量，平面PAC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）存在，且N為PC中點，利用，可得結(jié)論．
點評：本題考查面面角，考查線面平行，考查利用向量方法解決立體幾何問題，解題的關(guān)鍵是確定平面的法向量．