Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+p+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)p的取值范圍；
（2）問是否存在常數(shù)q（q≥0），當x∈[q，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-q．（注：區(qū)間[a，b]（a＜b）的長度為b-a）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)解析式判斷f（x）在區(qū)間[-1，1]上遞減，由函數(shù)零點的幾何意義知f（-1）•f（1）≤0，再代入方程后求不等式得解集，即是p的范圍；
（2）先假設(shè)存在常數(shù)q（q≥0）滿足題意，根據(jù)對稱軸和區(qū)間[q，10]的關(guān)系進行分類，再根據(jù)每種情況中的二次函數(shù)圖象求出函數(shù)的值域，利用區(qū)間長度求出q的值，注意驗證是否在確定的范圍內(nèi)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²-16x+p+3的對稱軸是x=8，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點須滿足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+p+3）（1-16+p+3）≤0，解得-20≤p≤12．
（2）假設(shè)存在常數(shù)q（q≥0）滿足題意，分三種情況求解：
①當

q＜8 8-q≥10-8 q≥0

時，即0≤q≤6時，
當x=8時，取到最小值f（8）；當x=q時，取到最大值f（q），
∴f（x）的值域為：[f（8），f（q）]，即[p-61，q²-16q+p+3]．
∴區(qū)間長度為q²-16q+p+3-（p-61）=q²-16q+64=12-q．
∴q²-15q+52=0，∴q=

15± 17

2

，經(jīng)檢驗q=

15+ 17

2

不合題意，舍去，故q=

15- 17

2

．
②當

q＜8 8-q＜10-8 q≥0

時，即6≤q＜8時，
當x=8時，取到最小值f（8）；當x=10時，取到最大值f（10），
∴f（x）的值域為：[f（8），f（10）]，即[p-61，p-57]
∴區(qū)間長度為p-57-（p-61）=4=12-q，∴q=8．經(jīng)檢驗q=8不合題意，舍去．
③當q≥8時，函數(shù)f（x）在[q，10]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的值域為：[f（q），f（10）]，即[q²-16q+p+3，p-57]．
∴區(qū)間長度為p-57-（q²-16q+p+3）=-q²-16q-60=12-q，
∴q²-17q+72=0，∴q=8或q=9．經(jīng)檢驗q=8或q=9滿足題意．
綜上知，存在常數(shù)q=8或q=9，q=

15- 17

2

當x∈[q，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-q．

點評：本題考查了函數(shù)零點的幾何意義和在給定區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，特別是區(qū)間含有參數(shù)時，要討論對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系并由此進行分類，是綜合性強和計算量大的題．