Question

f（x）=ax+

1

a

（1-x），其中a＞0，記f（x）在0≤x≤1的最小值為g（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）求g（a）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡(jiǎn)f（x）=ax+

1

a

（1-x）=（a-

1

a

）x+

1

a

，
（1）討論一次項(xiàng)的系數(shù)可確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最小值；
（2）由分段函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值．

解答： 解：f（x）=ax+

1

a

（1-x）=（a-

1

a

）x+

1

a

，
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a-

1

a

＜0；
故f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
故g（a）=f（1）=a；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1；故g（a）=1；
當(dāng)a＞1時(shí)，a-

1

a

＞0；
故f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
故g（a）=f（0）=

1

a

；
故g（a）=

a，0＜a≤1 1 a ，a＞1

；
（2）由（1）易知，
g（a）的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．