Question

已知函數(shù)f（x）=lnx－ax（a>0）．
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，求a的取值范圍．

Answer 1

（I）單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；極大值為，無(wú)極小值；
（Ⅱ）

試題分析：（I）先求導(dǎo)再討論其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求其極值。（Ⅱ）先求導(dǎo)再討論其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求其最值。對(duì)于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，即。
試題解析：（I）當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為。
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極大值為，無(wú)極小值。
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240329561741051.png" style="vertical-align:middle;" />又，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，
因?yàn)閷?duì)于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，所以，即，可得，
所以a的取值范圍為。