Question

 在長方體BCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱BC，CC₁上的點，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4
（1）求異面直線EF與A₁D所成角的余弦值；
（2）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在空間坐標(biāo)系中計算出兩個直線的方向向量的坐標(biāo)，由向量的夾角公式即可求出兩線夾角的余弦值．
（2）兩個平面一個平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一個平面的法向量，然后根據(jù)求求二面角的規(guī)則求出值即可．

解答：解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè)AB=1，依題意得D（0，2，0），F(xiàn)（1，2，1），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0），
（1）易得

EF

=（0，

1

2

，1），

A1D

=（0，2，-4），于是cos＜

EF

，

A1D

＞=

EF • A1D

| EF || A1D |

=-

3

5

，
所以異面直線EF與A₁D所成角的余弦值為

3

5

．
（2）設(shè)平面EFD的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

EF

=

1

2

y+z=0，且

n

•

ED

=-x+

1

2

y=0，
不妨令x=1，可得

n

=（1，2，-1），
設(shè)平面A₁ED的法向量

m

=（m，n，p）則

m

•

ED

=-m+

1

2

n=0且

m

•

DA1

=-2n+4p=0，
取p=1，則n=2，m=1，則

m

=（1，2，1），
于是cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2

3

，從而sin＜

n

，

m

＞=

5

3

，
所以二面角A₁-ED-F的正弦值為

5

3

．

點評：本題考查用向量法求異面直線所成的角，二面角，利用向量法求異面直線所成的角要注意異面直線所成角的范圍與向量所成角的范圍的不同．