Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一焦點(diǎn)為F₁（-1，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

2

，過(guò)原點(diǎn)的直線y=kx（k＞0）與C相交于A、B兩點(diǎn)（B在第一象限），BH垂直x軸，垂足為H．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)k變化時(shí)，求△ABH面積的最大值；
（3）過(guò)B作直線l垂直于AB，已知l與直線AH交于點(diǎn)M，判斷點(diǎn)M是否在橢圓C上，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用已知可得c=1，2a=2

2

，再利用b²=a²-c²即可得到橢圓的方程；
（2）由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)A（-x₀，-y₀），B（x₀，y₀），把直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立即可解得x₀，y₀．而S_△ABH=2S_△OBH=x₀y₀即可用k表示，再利用基本不等式即可得出．
（3）點(diǎn)M在橢圓上．利用直線垂直于斜率的關(guān)系可得k_AB•k_l+1=0，進(jìn)而得出直線AH的斜率與l的斜率關(guān)系，再利用三點(diǎn)AHM共線斜率相等及點(diǎn)B在橢圓上滿(mǎn)足橢圓的方程即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)也滿(mǎn)足橢圓的方程即可．

解答：解：（1）由題意可得半焦距c=1，2a=2

2

，解得a=

2

，
∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)A（-x₀，-y₀），B（x₀，y₀），聯(lián)立

y=kx x2+2y2=2

解得

x 2 0 = 2 1+2k2 y 2 0 = 2k2 1+2k2

，
則S_△ABH=2S_△OBH=x₀y₀=

2k

1+2k2

=

2

1 k +2k

≤

2

2 1 k •2k

=

2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)k=

2

2

時(shí)取等號(hào)，即△ABH的面積最大值為

2

2

．
（3）點(diǎn)M在橢圓上．下面給出證明：
設(shè)M（x₁，y₁）．由H（x₀，0）得AH的斜率k₁=

y0

2x0

=

k

2

，又BM的斜率k2=

y1-y0

x1-x0

．
∵l⊥AB，∴k₁k+1=0，即2k₁k₂+1=0，
又2k₂k₁+1=2×

y1-y0

x1-x0

•

y1-(-y0)

x1-(-x0)

+1=

( x 2 1 +2 y 2 1 )-( x 2 0 +2 y 2 0 )

x 2 1 - x 2 0

，
∴

x

2 1

+2

y

2 1

-(

x

2 0

+2

y

2 0

)=0，
∵點(diǎn)B（x₀，y₀）在橢圓上，∴

x

2 0

+2

y

2 0

=2，
∴

x

2 1

+2

y

2 1

=2，即

x 2 1

2

+

y

2 1

=1．
∴點(diǎn)M在橢圓C

x2

2

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得出交點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)在橢圓上得到點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓的方程、三角形的面積計(jì)算公式、直線的斜率計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．