Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=${e^x}（{{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}-6x+2}）-2a{e^x}$-x，若不等式f（x）≤0在[-2，+∞）上有解，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． $-\frac{3}{2}-\frac{1}{e}$
• B． $-\frac{3}{2}-\frac{2}{e}$
• C． $-\frac{3}{4}-\frac{1}{2e}$
• D． $-1-\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 依題意，可得2a≥[$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）-x}{{e}^{x}}$]_min（x≥-2），構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）-x}{{e}^{x}}$=${x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2$-$\frac{x}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)法可求得g（x）的極小值g（1）=1+$\frac{3}{2}$-6+2-$\frac{1}{e}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{e}$，也是最小值，從而可得答案．

解答 解：f（x）=${e^x}（{{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}-6x+2}）-2a{e^x}$-x≤0在[-2，+∞）上有解
?2ae^x≥${e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）$-x在[-2，+∞）上有解
?2a≥[$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）-x}{{e}^{x}}$]_min（x≥-2）．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）-x}{{e}^{x}}$=${x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2$-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=3x²+3x-6-$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=（x-1）（3x+6+$\frac{1}{{e}^{x}}$），
∵x∈[-2，+∞），
∴當(dāng)x∈[-2，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在區(qū)間[-2，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)g′（x）＞0，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極小值g（1）=1+$\frac{3}{2}$-6+2-$\frac{1}{e}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{e}$，也是最小值，
∴2a≥-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{e}$，
∴a≥$-\frac{3}{4}-\frac{1}{2e}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，突出分離參數(shù)法、構(gòu)造法與導(dǎo)數(shù)法的綜合運(yùn)用，屬于難題．