Question

已知O為△ABC的外心，cosA=

1

3

，若

AO

=α

AB

+β

AC

，則α+β的最大值為（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：如圖所示，以BC邊所在直線為x軸，BC邊的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系（D為BC邊的中點(diǎn)）．由外接圓的性質(zhì)可得∠BOD=∠COD=∠BAC．由cosA=

1

3

，不妨設(shè)外接圓的半徑R=3．則OA=OB=OC=3．可得B，C，O的坐標(biāo)，設(shè)A（m，n）．則△ABC外接圓的方程為：x²+（y-1）²=9．（*）利用向量相等

AO

=α

AB

+β

AC

，可得

-m=α(-2 2 -m)+β(2 2 -m) 1-n=-αn-βn

，又α+β≠1時(shí)，否則

CO

=α

CB

，由圖可知是不可能的．可化為

m= 2 2 (β-α) α+β-1 n= -1 α+β-1

，代入（*）可得

8(β-α)2

(α+β-1)2

+

(-α-β)2

(α+β-1)2

=9，化為18（α+β）=9+32αβ，利用重要不等式可得18(α+β)≤9+32(

α+β

2

)2，化為8（α+β）²-18（α+β）+9≥0，即可解出．

解答：解：如圖所示，以BC邊所在直線為x軸，BC邊的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系（D為BC邊的中點(diǎn)）．
由外接圓的性質(zhì)可得∠BOD=∠COD=∠BAC．
由cosA=

1

3

，不妨設(shè)外接圓的半徑R=3．則OA=OB=OC=3．
∵cos∠COD=

OD

OC

=

1

3

，∴OD=1.DC=

OC2-OD2

=2

2

．
∴B(-2

2

，0)，C(2

2

，0)，O（0，1），A（m，n）．
則△ABC外接圓的方程為：x²+（y-1）²=9．（*）
∵

AO

=α

AB

+β

AC

，
∴（-m，1-n）=α(-2

2

-m，-n)+β(2

2

-m，-n)，
∴

-m=α(-2 2 -m)+β(2 2 -m) 1-n=-αn-βn

，
∵α+β≠1時(shí)，否則

CO

=α

CB

，由圖可知是不可能的．
∴可化為

m= 2 2 (β-α) α+β-1 n= -1 α+β-1

，代入（*）可得

8(β-α)2

(α+β-1)2

+

(-α-β)2

(α+β-1)2

=9，
化為18（α+β）=9+32αβ，
利用重要不等式可得18(α+β)≤9+32(

α+β

2

)2，
化為8（α+β）²-18（α+β）+9≥0，
解得α+β≤

3

4

或α+β≥

3

2

．
又α+β＜1，故α+β≥

3

2

應(yīng)舍去．
∴α+β≤

3

4

，
故α+β的最大值為

3

4

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過建立直角坐標(biāo)系解決向量的有關(guān)運(yùn)算、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、三角形的外接圓的性質(zhì)、余弦函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．