Question

17．關(guān)于二項(xiàng)式${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$有下列命題：
①該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1；   
②該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為$C_{2005}^6•{x^{1999}}$；
③該二項(xiàng)展開式中無有理項(xiàng)；
④當(dāng)x=100時(shí)，${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$除以100的余數(shù)是49．
其中正確的序號(hào)是①④．（注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①用特殊值，求出二項(xiàng)式${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$展開式中所有非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和即可；
②利用通項(xiàng)公式求出展開式中第六項(xiàng)即可；
③該二項(xiàng)展開式中第2006項(xiàng)是-1，為有理項(xiàng)；
④x=100時(shí)，按照${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$的二項(xiàng)展開式，求出它除以100的余數(shù)是多少即可．

解答 解：對(duì)于①，令x=1，二項(xiàng)式${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$展開式中
所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1-1）²⁰⁰⁵=0，其中常數(shù)項(xiàng)為（-1）²⁰⁰⁵=-1，
∴展開式中所有非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是0-（-1）=1，①正確；
對(duì)于②，該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為
T₅₊₁=${C}_{2005}^{5}$•${（\sqrt{x}）}^{2000}$•（-1）⁵=-${C}_{2005}^{5}$•x¹⁰⁰⁰，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，該二項(xiàng)展開式中第2006項(xiàng)是-1，為有理項(xiàng)，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)x=100時(shí)，
${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$=（10-1）²⁰⁰⁵
=${C}_{2005}^{0}$•10²⁰⁰⁵-${C}_{2005}^{1}$•10²⁰⁰⁴+${C}_{2005}^{2}$•10²⁰⁰³-…+${C}_{2005}^{2004}$•10-${C}_{2005}^{2005}$
=m•100+20050-1
=（m+200）×100+49，其中m∈N^*，
∴${（\sqrt{x}-1）}^{2005}$除以100的余數(shù)是49，④正確．
綜上，正確的命題是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)的整除問題，是綜合性問題．