【題目】已知函數(shù),其中.
(1)設(shè),討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在零點,求的范圍.
【答案】(1)見解析;(2)的取值范圍是.
【解析】試題分析:(1)求導可以得到,分三種情況討論導數(shù)的符號.(2)計算可以得到,其導數(shù)為,我們需要討論的符號,故需再構(gòu)建新函數(shù),其導數(shù)為,結(jié)合原函數(shù)的形式和的形式,我們發(fā)現(xiàn)當時恒成立;當時, 在上有極小值點 ,結(jié)合可知 在上有零點;當時, 恒成立,結(jié)合可知, 在上也是恒成立的,故而在上遞增恒成立.
解析:(1)定義域
故 則
若,則 在 上單調(diào)遞減;
若,則 .
(i) 當 時,則 ,因此在 上恒有 ,即 在 上單調(diào)遞減;
(ii)當時, ,因而在上有,在上有 ;因此 在 上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2)設(shè) ,
,設(shè),
則 .
先證明一個命題:當時, .令, ,故在上是減函數(shù),從而當時, ,故命題成立.
若 ,由 可知, .,故 ,對任意都成立,故 在上無零點,因此.
(ii)當,考察函數(shù) ,由于 在 上必存在零點.設(shè)在 的第一個零點為,則當時, ,故 在 上為減函數(shù),又 ,
所以當 時, ,從而 在 上單調(diào)遞減,故在 上恒有 。即 ,注意到 ,因此,令時,則有,由零點存在定理可知函數(shù) 在 上有零點,符合題意.
(iii)若,則由 可知, 恒成立,從而 在 上單調(diào)遞增,也即 在上單調(diào)遞增,因此,即在 上單調(diào)遞增,從而恒成立,故方程 在 上無解.
綜上可知, 的取值范圍是 .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】全集,非空集合,且中的點在平面直角坐標系內(nèi)形成的圖形關(guān)于軸、軸和直線均對稱.下列命題:
①若,則;
②若,則中至少有8個元素;
③若,則中元素的個數(shù)一定為偶數(shù);
④若,則.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(2+x)=f(2-x),當x∈[-2,0)時,f(x)=-1,若關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)恰有4個不等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B. (1,4)
C. (1,8) D. (8,+∞)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為萬元,且.
(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時,該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得利潤最大?(注:年利潤=年銷售收入﹣年總成本)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,以原點為極點, 軸正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知曲線,直線.
(1)將曲線上所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的2倍、倍后得到曲線,請寫出直線,和曲線的直角坐標方程;
(2)若直線經(jīng)過點且, 與曲線交于點,求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2018屆遼寧省凌源市高三上學期期末】隨著科技的發(fā)展,手機成為人們?nèi)粘I钪斜夭豢缮俚耐ㄐ殴ぞ,現(xiàn)在的中學生幾乎都擁有了屬于自己的手機.為了調(diào)查某地區(qū)高中生一周內(nèi)使用手機的頻率,某機構(gòu)隨機抽查了該地區(qū)100名高中生某一周內(nèi)使用手機的時間(單位:小時),所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為,由此得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值并估計該地區(qū)高中生一周使用手機時間的平均值;
(2)從使用手機時間在的四組學生中,用分層抽樣方法抽取13人,則每組各應(yīng)抽取多少人?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富,除了可以很方便地網(wǎng)購,網(wǎng)上叫外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分,為了解網(wǎng)絡(luò)外賣在市的普及情況, 市某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了關(guān)于網(wǎng)絡(luò)外賣的問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)民中抽取了200人進行抽樣分析,得到表格(單位:人).
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用網(wǎng)絡(luò)外賣的情況與性別有關(guān)?
(2)①現(xiàn)從所抽取的女網(wǎng)民中利用分層抽樣的方法再抽取5人,再從這5人中隨機選出了3人贈送外賣優(yōu)惠券,求選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的概率;
②將頻率視為概率,從市所有參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的人數(shù)為,求的數(shù)學期望和方差.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學中的一個典型函數(shù),若,則稱為狄利克雷函數(shù).對于狄利克雷函數(shù),給出下面4個命題:①對任意,都有;②對任意,都有;③對任意,都有, ;④對任意,都有.其中所有真命題的序號是( )
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com