Question

【題目】已知函數(shù), ．

（Ⅰ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)x＜0時(shí)，研究函數(shù)F（x）=h（x）﹣g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）求證：（參考數(shù)據(jù)：ln1.1≈0.0953）．

Answer 1

【答案】(1) a的取值范圍為（﹣∞，1]；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

構(gòu)造輔助函數(shù)，，根據(jù)的取值范圍，求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，即可得到的取值范圍

當(dāng)在上變化時(shí)，討論函數(shù)和的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論

由可知當(dāng)時(shí)，，對(duì)恒成立，令，，則，即可得證

（Ⅰ）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0）

則

①若a≤1，則，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）遞增，

H（x）≥H（0）=0，

即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，滿足，a≤1，

a的取值范圍（﹣∞，1]；

②若a＞1，在[0，+∞）遞增，

H'（x）≥H'（0）=1﹣a且1﹣a＜0，

且x→+∞時(shí)，H'（x）→+∞，

則x0∈（0，+∞）使H'（x0）=0進(jìn)而H（x）在[0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，

所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)H（x）＜H（0）=0，

即當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f（x）＞h（x），不滿足題意，舍去；

綜合①，②知a的取值范圍為（﹣∞，1]；

（Ⅱ）依題意得，則F'（x）=ex﹣x2+a，

則F'（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）遞增，

所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞時(shí)，F'（x）→﹣∞；

①若1+a≤0，即a≤﹣1，則F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）遞減，

∴F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）無(wú)零點(diǎn)；

②若1+a＞0，即a＞﹣1，則使，

進(jìn)而F（x）在遞減，在遞增，

且x→﹣∞時(shí)，，

F（x）在上有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，

故F（x）在（﹣∞，0）有一個(gè)零點(diǎn)．

綜合①②，當(dāng)a≤﹣1時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a＞1時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)．

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，ex＞1+ln（x+1）對(duì)x＞0恒成立，

令，則即；

由（Ⅱ）知，當(dāng)a=﹣1時(shí)，對(duì)x＜0恒成立，

令，則，

∴；

故有．