Question

(本小題滿(mǎn)分12分)
已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線(xiàn)與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線(xiàn)經(jīng)過(guò)M（－2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)在軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

(1)；（2）.

試題分析：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=kx，則kx-y=0
∵該直線(xiàn)與圓相切，∴雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)方程為y=±x．
故設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為．
又雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)為，∴，．
∴雙曲線(xiàn)C的方程為:.
（2）由得．令
∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程f(x)=0在上有兩個(gè)不等實(shí)根．
因此，解得又AB中點(diǎn)為，∴直線(xiàn)l的方程為：． 令x=0，得．∵，∴，∴.
點(diǎn)評(píng)：研究直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，通常的思路是：轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問(wèn)題，利用直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程所組成的方程組消去一個(gè)變量后，將交點(diǎn)問(wèn)題（包括公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問(wèn)題。