【題目】如圖對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)均在軸上的兩橢圓，的離心率相同且均為，橢圓過(guò)點(diǎn)且其上頂點(diǎn)恰為橢圓的上焦點(diǎn)．是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．

（1）求橢圓，的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）證明：．

（3）是否為定值？若為定值．則求出該定值；否則，說(shuō)明理由．

【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）是定值，.

【解析】

（1）根據(jù)離心率以及橢圓過(guò)點(diǎn)，可得的方程，再根據(jù)的上頂點(diǎn)橢圓的上焦點(diǎn)，即可得的方程；

（2）直線與橢圓方程分別聯(lián)立，分別利用弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得證.

（3）先確定直線的斜率與直線的斜率關(guān)系，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算與，化簡(jiǎn)整理即可得結(jié)果.

（1）解：因?yàn)闄E圓，的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，所以設(shè)橢圓的方程為．

由橢圓過(guò)點(diǎn)，得，

解得，所以橢圓的方程為，

所以橢圓的方程為．

（2）證明：由（1）得，設(shè)點(diǎn)，，直線的斜率為，則直線的方程為，

聯(lián)立得，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得．

設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立得，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得．

所以，所以，所以，

所以．

（3）解：由（1）得，由（2）得，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．

所以．

由，得，

聯(lián)立得，

，

．

聯(lián)立得，

，

．

由，得，

所以，為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線：與軸交于點(diǎn)，為橢圓的長(zhǎng)軸，已知，且，過(guò)點(diǎn)作斜率為直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) ，

（1）當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)作交軸于點(diǎn)，求；

（2）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市有兩家共享單車公司，在市場(chǎng)上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的單車，已知黃、藍(lán)兩種顏色的單車的投放比例為2：1.監(jiān)管部門(mén)為了了解兩種顏色的單車的質(zhì)量，決定從市場(chǎng)中隨機(jī)抽取5輛單車進(jìn)行體驗(yàn)，若每輛單車被抽取的可能性相同.

（1）求抽取的5輛單車中有2輛是藍(lán)色顏色單車的概率；

（2）在騎行體驗(yàn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)藍(lán)色單車存在一定質(zhì)量問(wèn)題，監(jiān)管部門(mén)決定從市場(chǎng)中隨機(jī)地抽取一輛送技術(shù)部門(mén)作進(jìn)一步抽樣檢測(cè)，并規(guī)定若抽到的是藍(lán)色單車，則抽樣結(jié)束，若抽取的是黃色單車，則將其放回市場(chǎng)中，并繼續(xù)從市場(chǎng)中隨機(jī)地抽取下一輛單車，并規(guī)定抽樣的次數(shù)最多不超過(guò)（）次.在抽樣結(jié)束時(shí)，已取到的黃色單車以表示，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中為常數(shù)，函數(shù)和的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行．

（1）求的值；

（2）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（常數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）研究函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍；

（3）證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)D是圓O：x2+y2＝16上的任意一點(diǎn)，m是過(guò)點(diǎn)D且與x軸垂直的直線，E是直線m與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線m上，且滿足2|EQ||ED|．當(dāng)點(diǎn)D在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程．

（2）已知點(diǎn)P（2，3），過(guò)F（2，0）的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，交直線x＝8于點(diǎn)M．判定直線PA，PM，PB的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)， 為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

①證明： 為定值；

②設(shè)直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若成等差數(shù)列，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，證明：.

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