Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點(diǎn)P(

3

3

，

11

2

)在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F₂（1，0）的直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若△OEF的面積為

6 2

7

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，依題意得關(guān)于a，b的方程組，進(jìn)而求得a，b，則橢圓方程可得．
（II）先得出直線l的率存在且不為0，再將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可得△OEF的面積，列出k的方程，即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，

a2-b2=1 1 3a2 + 11 4b2 =1

解得，a²=4，b²=3…（3分）
∴橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（Ⅱ）：若直線l⊥x軸，則直線l的方程為x=1，易知E(1，

3

2

)，F(xiàn)(1，-

3

2

)∴△OEF的面積S=

1

2

×1×3=

3

2

≠

6 2

7

，所以直線l的率存在且不為0，可設(shè)l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）∴

x1+x2= 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

12 1+k2

3+4k2

…（8分）∴|y1-y2|=|k(x1-x2)|=

12|k| 1+k2

3+4k2

∵△OEF的面積為

6 2

7

，|OF₂|=1，∴

1

2

×|OF2|×|y1-y2|=

6 2

7

，
解得k=±1，所以直線l的方程為：x±y-1=0…（10分）．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的方程和雙曲線與直線的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．解答的關(guān)鍵是利用方程思想得出弦長，屬于基礎(chǔ)題．