Question

已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

1

2

，前n項(xiàng)和為S_n，且a₃+S₅，a₄+S₄，a₅+S₃成等差數(shù)列．
（1）求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)n∈N₊，在a_n與a_n+1之間插入3ⁿ個(gè)數(shù)，使這個(gè)3ⁿ+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這個(gè)3ⁿ個(gè)數(shù)的和為b_n，且c_n=

3n

4bn

．求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a₃+S₄-a₃-S₃=a₅+S₅-a₄-S₄，從而得到2q²-3q+1=0，由此能求出an=

1

2n

．
（2）由cn=n•(

2

3

)n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

1

2

，前n項(xiàng)和為S_n，
且a₃+S₅，a₄+S₄，a₅+S₃成等差數(shù)列，
∴a₃+S₄-a₃-S₃=a₅+S₅-a₄-S₄，
∴2a₅-3a₄+a₃=0，
∴2q²-3q+1=0，
∵q≠1，∴q=

1

2

，
∴an=

1

2n

．
（2）bn=

an+an+1

2

•3n=

3

4

•(

3

2

)n，
∵c_n=

3n

4bn

，∴cn=n•(

2

3

)n，
∴Tn=1×

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…+n×(

2

3

)n，①

2

3

Tn=1×(

2

3

)2+2×(

2

3

)3+3×(

2

3

)4+…+n×(

2

3

)n+1，②
①-②，得：

1

3

Tn=

2

3

+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-n×(

2

3

)n+1
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n•(

2

3

)n+1，
∴T_n=6-6×(

2

3

)n-2n(

2

3

)n=6-(6+2n)•(

2

3

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．