Question

（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)，．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；

（Ⅲ）如果對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ） ①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增,②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）18；（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)的不同取值，討論的符號(hào)，即可函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ） 存在，使得等價(jià)于在區(qū)間上，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性與最值即可；

（Ⅲ）任意的，都有成立等價(jià)于在區(qū)間上，函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性與最值關(guān)系，分別求函數(shù)的最小值與函數(shù)的最大值，解不等式即可.

試題解析：（Ⅰ）, 定義域（0，） 1分

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增, 2分

②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 4分

（Ⅱ）存在，使得成立,

等價(jià)于. 5分

考察

			0				3
		+	0	-	0	+
		遞增		遞減		遞增	15

由上表可知，

，

所以滿足條件的最大整數(shù)． 9分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知，在上是減函數(shù)，

在上增函數(shù)，而

的最大值是1. 10分

要滿足條件，則只需當(dāng)時(shí)，恒成立,

等價(jià)于恒成立,

記，，. 11分

當(dāng)時(shí),即函數(shù)在區(qū)間上遞增，

當(dāng)時(shí),即函數(shù)在區(qū)間上遞減，

取到極大值也是最大值． 13分

所以. 14分

另解:設(shè)，

由于，

所以在上遞減，又

當(dāng)時(shí)，時(shí)，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減， 13分

所以，所以. 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值，不等式恒成立問題的化歸與轉(zhuǎn)化.