Question

19．將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=$\sqrt{2}$．
（1）證明：BD⊥CE；
（2）求AE與平面BDE所成角的大�。�
（3）直線BE上是否存在一點M，使得CM∥平面ADE，若存在，求點M的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標原點AB，AD，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，借助空間向量來證BD⊥CE，只需在空間直角坐標系下，證明$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{CE}$=0即可；
（2）DAE與平面BDE所成角，也即AE與平面BDE所成角的法向量所成角的余角，求出平面BD的法向量坐標即可；（3）先假設直線BE上存在一點M，使得CM∥平面ADE，$\overrightarrow{CM}$垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直時數量積為0來計算．如能計算出參數λ的值，則存在，否則，不存在．

解答 （1）證明：以A為坐標原點AB，AD，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則E（0，0，$\sqrt{2}$），B（2，0，0）D（0，2，0），
取BD的中點F并連接CF，AF；由題意可得CF⊥BD且AF=CF=$\sqrt{2}$，
又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，
∴C的坐標為C（1，1，$\sqrt{2}$）
∴$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{CE}$=（-1，-1，0）
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{CE}$=2-2+0=0，
∴$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{CE}$，∴BD⊥CE；
（2）解：設平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，$\sqrt{2}$）   
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{2}$）    
又$\overrightarrow{AE}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
設平面DE與平面BCE所成角為θ，則
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DE}$＞|=$\frac{2}{\sqrt{1+1+2}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴AE與平面BDE所成角為45°；
（3）解：假設存在點M使得CM∥面ADE，則$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EB}$
∵$\overrightarrow{EB}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），∴$\overrightarrow{EM}$=（2λ，0，-$\sqrt{2}$λ）  
得M（2λ，0，$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ）     　
又∵AE⊥平面ABD，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADE
∵CM∥面ADE，∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AB}$=0
得2λ-1=0，∴λ=$\frac{1}{2}$
故點M為BE的中點時CM∥面ADE．

點評 夲題考查了用空間向量求證線線垂直，線面平行，以及線面角，屬于常規(guī)題，需掌握．