【題目】已知函數(shù) ,其中 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),若函數(shù)對(duì)任意都成立,求的最大值.
【答案】(1) 當(dāng)時(shí),增區(qū)間為 ;當(dāng)時(shí),增區(qū)間為,減區(qū)間為 ;(2) .
【解析】試題分析:(1)通過函數(shù),得,然后結(jié)合與0的關(guān)系對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論即可;(2)對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論:當(dāng)a<0時(shí), 不可能恒成立;當(dāng)a=0時(shí),此時(shí)ab=0;當(dāng)a>0時(shí),由題結(jié)合(1)得,設(shè),問題轉(zhuǎn)化為求的最大值,利用導(dǎo)函數(shù)即可.
試題解析::(1)由函數(shù),可知,
時(shí), ,函數(shù)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),令,得,
故當(dāng)時(shí), ,此時(shí)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在單調(diào)遞增區(qū)間為;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在R上單調(diào)遞增且當(dāng)時(shí), 不可能恒成立;
當(dāng)a=0時(shí),此時(shí)ab=0;
當(dāng)a>0時(shí),由函數(shù)對(duì)任意x∈R都成立,可得,
∵,
設(shè),則,
由于,令,得
時(shí), 單調(diào)遞增;
時(shí), 單調(diào)遞減.
,即當(dāng)時(shí),ab的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知坐標(biāo)平面上動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn), ,且.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中軌跡為,過點(diǎn)的直線被所截得的線段長(zhǎng)度為8,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(Ⅰ)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:枝, )的函數(shù)解析式.
(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(1)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花, 表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,以利潤(rùn)角度看,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝好還是17枝好?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體中,四邊形為矩形,四邊形為梯形, ,平面與平面垂直,且.
(1)求證: 平面;
(2)若,且平面與平面所成銳二面角的余弦值為,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),寫出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】無窮數(shù)列滿足: 為正整數(shù),且對(duì)任意正整數(shù), 為前項(xiàng), , , 中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).
(Ⅰ)若,請(qǐng)寫出數(shù)列的前7項(xiàng);
(Ⅱ)求證:對(duì)于任意正整數(shù),必存在,使得;
(Ⅲ)求證:“”是“存在,當(dāng)時(shí),恒有 成立”的充要條件。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)M(﹣1,0),N(1,0),曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍.
(1)求曲線E的方程;
(2)已知m≠0,設(shè)直線:x﹣my﹣1=0交曲線E于A,C兩點(diǎn),直線:mx+y﹣m=0交曲線E于B,D兩點(diǎn),若CD的斜率為﹣1時(shí),求直線CD的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中, 、分別為、的中點(diǎn), , .
(1)求證:平面平面;
(2)若直線和平面所成角的正弦值等于,求二面角的平面角的正弦值.
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