Question

已知a，b∈R且a≠2，定義在區(qū)間（-b，b）內(nèi)的函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及b的取值范圍；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1），x∈（-b，b）是奇函數(shù)，
等價于對于任意-b＜x＜b都有成立，（1）
式即為 ．
∴，即a²x²=4x²，
此式對于任意x∈（-b，b）都成立等價于a²=4，
因為a≠2，所以a=-2，所以；
代入（2）式得：，
即對于任意x∈（-b，b）都成立，
相當(dāng)于，從而b的取值范圍為；
（2）對于任意x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由，
得，所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
從而f（x₂）-f（x₁）=
=，
因此f（x）在（-b，b）是減函數(shù)；
分析：（1）由題意可知，f（-x）=-f（x）對定義域內(nèi)的任意x成立，代入可求a，然后求出函數(shù)的定義域即可求解b
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義直接進行判斷即可
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本定義并能靈活利用