Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁，AB=2，點E在棱AB上移動．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）AE等于何值時，平面D₁DE⊥平面D₁CE，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由四邊形AA₁D₁D是鄰邊相等的長方形，得AA₁D₁D是正方形，可得AD₁⊥A₁D．由、線面垂直的判定與性質，證出AB⊥A₁D，從而得到AB⊥平面AD₁B，結合D₁E?平面AD₁B，可證出D₁E⊥A₁D；
（2）因為AB=2，所以當E為AB中點，即當AE=1時，平面D₁DE⊥平面D₁CE．證明如下：矩形ABCD中證出DE⊥CE，根據(jù)長方體的性質，結合線面垂直的性質證出CE⊥DD₁，從而得到CE⊥平面D₁DE，由面面垂直的判定定理，可得平面D₁DE⊥平面D₁CE．

解答：解：（1）連接AD₁，根據(jù)題意，得
∵在長方形AA₁D₁D中，AD=AA₁=1，
∴四邊形AA₁D₁D是正方形，可得AD₁⊥A₁D…（2分）
又∵AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D，∴AB⊥A₁D…（7分）
∵AB、AD₁是平面AD₁B內的相交直線，∴AB⊥平面AD₁B
∵D₁E?平面AD₁B，∴D₁E⊥A₁D；    …（7分）
（2）當AE=1時，有平面D₁DE⊥平面D₁CE．…（9分）
證明如下：
當AE=1時，DE=CE=

2

，
∵CD=2，∴DE²+CE²=4=CD²，可得△DCE是以CD為斜邊的直角三角形，DE⊥CE，
又∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，∴CE⊥DD₁，
∵DEDD₁是平面DD₁E內的相交直線，∴CE⊥平面D₁DE
∵CE?平面D₁CE，∴平面D₁DE⊥平面D₁CE…（14分）

點評：本題在長方體中證明線線垂直，并探索面面垂直的存在性，著重考查了長方體的性質、線面垂直和面面垂直的判定與性質等知識點，屬于中檔題．