【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M: (a>b>0)右焦點的直線x+y﹣ =0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為 .
(1)求M的方程
(2)C,D為M上的兩點,若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.
【答案】
(1)解:把右焦點(c,0)代入直線x+y﹣ =0得c+0﹣ =0,解得c= .
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點P(x0,y0),
則 , ,相減得 ,
∴ ,
∴ ,又 = ,
∴ ,即a2=2b2.
聯(lián)立得 ,解得 ,
∴M的方程為 .
(2)解:∵CD⊥AB,∴可設(shè)直線CD的方程為y=x+t,
聯(lián)立 ,消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0,
∵直線CD與橢圓有兩個不同的交點,
∴△=16t2﹣12(2t2﹣6)=72﹣8t2>0,解﹣3<t<3(*).
設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),∴ , .
∴|CD|= = = .
聯(lián)立 得到3x2﹣4 x=0,解得x=0或 ,
∴交點為A(0, ),B ,
∴|AB|= = .
∴S四邊形ACBD= = = ,
∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時,四邊形ACBD面積的最大值為 ,滿足(*).
∴四邊形ACBD面積的最大值為 .
【解析】(1)把右焦點(c,0)代入直線可解得c.設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),線段AB的中點P(x0 , y0),利用“點差法”即可得到a,b的關(guān)系式,再與a2=b2+c2聯(lián)立即可得到a,b,c.(2)由CD⊥AB,可設(shè)直線CD的方程為y=x+t,與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,即可得到弦長|CD|.把直線x+y﹣ =0與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,即可得到弦長|AB|,利用S四邊形ACBD= 即可得到關(guān)于t的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到其最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其物理成績(均為整數(shù))分成六段,…后畫出如下頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)估計這次考試的眾數(shù)與中位數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù));
(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,a為常數(shù)且a>0.
(1)f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱;
(2)若x0滿足f(f(x0))=x0 , 但f(x0)≠x0 , 則x0稱為函數(shù)f(x)的二階周期點,如果f(x)有兩個二階周期點x1 , x2 , 試確定a的取值范圍;
(3)對于(2)中的x1 , x2 , 和a,設(shè)x3為函數(shù)f(f(x))的最大值點,A(x1 , f(f(x1))),B(x2 , f(f(x2))),C(x3 , 0),記△ABC的面積為S(a),討論S(a)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點A是以BC為直徑的圓O上異于B,C的動點,P為平面ABC外一點,且平面PBC⊥平面ABC,BC=3,PB=2,PC,則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一微商店對某種產(chǎn)品每天的銷售量(件)進(jìn)行為期一個月的數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析,并得出了該月銷售量的直方圖(一個月按30天計算)如圖所示.假設(shè)用直方圖中所得的頻率來估計相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)求日銷量的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)若微商在一天的銷售量超過25件(包括25件),則上級商企會給微商贈送100元的禮金,估計該微商在一年內(nèi)獲得的禮金數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于棱長為的正方體,有如下結(jié)論,其中錯誤的是( )
A. 以正方體的頂點為頂點的幾何體可以是每個面都為直角三角形的四面體;
B. 過點作平面的垂線,垂足為點,則三點共線;
C. 過正方體中心的截面圖形不可能是正六邊形;
D. 三棱錐與正方體的體積之比為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ.
(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
(2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分別是AB,CD的中點,將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折,給出四個結(jié)論:①DF⊥BC;
②BD⊥FC;
③平面DBF⊥平面BFC;
④平面DCF⊥平面BFC.
則在翻折過程中,可能成立的結(jié)論的個數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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