Question

如圖，ABCD為邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線交于點O，沿BD將△BCD折起，使∠AOC=120°，P為折起后AC上一點，且AP=2PC，Q為三角形ABD的中心．
（1）求證：PQ∥平面BCD；
（2）求證：PO⊥平面ABD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，又PQ?平面BCD，CO?平面BCD，由線面平行的判定定理可得；
（2）易得OC=OA=2cos30°=，在△AOC中，由余弦定理可得AC=3，在△PAO中，可得PO=1，由勾股定理可得PO⊥OA，又可得PO⊥BD，又AO∩BD=0，由線面垂直的判定可得．
解答：證明：（1）如圖由ABCD為菱形，則AC⊥BD，∠AOC=120°，
由Q為三角形ABD的重心，可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，
又PQ?平面BCD，CO?平面BCD，所以PQ∥平面BCD；
（2）由題意OC=OA=2cos30°=，在△AOC中，由余弦定理可得
AC²=3+3-2×××cos120°=9，所以AC=3，
又∠AOC=120°，AO=CO，∴∠PAO=30°，
在△PAO中，OA=，AP=2，∠PAO=30°．所以PO=1，
∴PO²+OA²=AP²，∴PO⊥OA，
又BD⊥平面AOC，所以PO⊥BD，又AO∩BD=0，
所以PO⊥平面ABD
點評：本題考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，屬中檔題．