已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F ( c,0 )，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且△OFP的面積為

（Ⅰ）若點(diǎn)P坐標(biāo)為，求此雙曲線的離心率；

（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程。

解：（Ⅰ）設(shè)所求的雙曲線的方程為 ( a＞0，b＞0)

則|OF|×=，∴c =

∴b2 = c2 a2 = 2 a2

由點(diǎn)P ( 2, )在雙曲線上，∴，解得a2 = 1

∴離心率

（Ⅱ）設(shè)所求的雙曲線的方程為 ( a＞0，b＞0)，P (x1，y1)

則 = (x1 c, y1 )

∵△OFP的面積為 ，

∴||      | y1 | = . ∴| y1 | =

∵?=     

∴?= ( x1 c ) c =

解得

≥
 
∵==

當(dāng)且僅當(dāng)c =時(shí)等號(hào)成立

此時(shí)P () , 由此得  ，解得  或舍

則所求雙曲線的方程為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F（c，0），P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且△OEP的面積為
6
2
.
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，
3
)，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若
OF
•
FP
=(
6
3
-1)c2，當(dāng)|
OP
|取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，其中一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦點(diǎn)．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)O？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，C是直線L1：y=mx+6上任一點(diǎn)（A、B、C三點(diǎn)不共線）試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（07年朝陽區(qū)一模）（14分）  已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F（c，0），P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且△OEP的面積為

   （Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求此雙曲線的離心率；

   （Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年江蘇省揚(yáng)州市高郵中學(xué)高三4月模擬數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F（c，0），P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且△OEP的面積為
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F（c，0），P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且△OEP的面積為
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

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