【題目】如圖,在四棱錐中,已知底面是邊長為2的菱形,平面,,,分別是棱,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)可先證線線平行,然后根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行,也可先根據(jù)線線平行證明面面平行,再根據(jù)面面平行證明線面平行;
(2)可利用傳統(tǒng)法,先找到線在直角三角形求線面角的正弦值,也可根據(jù)題中的線面位置關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法進(jìn)行求解.
(1)如圖所示,取的中點(diǎn),連接,,
因?yàn)?/span>是棱的中點(diǎn),所以是的中位線,所以,
又因?yàn)?/span>平面,平面,所以平面,
又由是棱的中點(diǎn),為的中點(diǎn),可得,
又因?yàn)?/span>平面,平面,所以平面,
又由,且平面,所以平面平面,
又因?yàn)?/span>平面,所以平面.
(2)取的中點(diǎn),連接,由是等邊三角形,所以,
又,所以,
因?yàn)?/span>平面,平面,所以,,
所以,,兩兩垂直,故以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
故,,.
設(shè)平面的法向量為,則,即,
令,則,故為平面的一個(gè)法向量,
設(shè)直線與平面所成的角為,
則,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個(gè)動點(diǎn),且,現(xiàn)有如下四個(gè)結(jié)論:
;平面;
三棱錐的體積為定值;異面直線所成的角為定值,
其中正確結(jié)論的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐ABCD中,和都是等邊三角形,平面PAD平面ABCD,且,.
(1)求證:CDPA;
(2)E,F分別是棱PA,AD上的點(diǎn),當(dāng)平面BEF//平面PCD時(shí),求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】動點(diǎn)在橢圓上,過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,點(diǎn)滿足,已知點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)的圓.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(,在軸的同側(cè)),,為橢圓的左、右焦點(diǎn),若,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,底面ABC,,,,D,E分別為棱BC,PC的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱PA上,設(shè).
(1)當(dāng)時(shí),求異面直線DF與BE所成角的余弦值;
(2)試確定t的值,使二面角C-EF-D的平面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國法定勞動年齡是周歲至退休年齡(退休年齡一般指男周歲,女干部身份周歲,女工人周歲).為更好了解我國勞動年齡人口變化情況,有關(guān)專家統(tǒng)計(jì)了年我國勞動年齡人口和周歲人口數(shù)量(含預(yù)測),得到下表:
其中年勞動年齡人口是億人,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.年勞動年齡人口比年減少了萬人以上
B.這年周歲人口數(shù)的平均數(shù)是億
C.年,周歲人口數(shù)每年的減少率都小于同年勞動人口每年的減少率
D.年這年周歲人口數(shù)的方差小于這年勞動人口數(shù)的方差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知底面,,,,,是上一點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若是的中點(diǎn),且二面角的余弦值是,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)比點(diǎn)的橫坐標(biāo)大4,直線交線段于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn).
(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0,求的值;
(2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提升學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng),某校數(shù)學(xué)興趣活動小組指導(dǎo)老師給學(xué)生布置了一項(xiàng)探究任務(wù):如圖,有一張邊長為27cm的等邊三角形紙片ABC,從中裁出等邊三角形紙片作為底面,從剩余梯形中裁出三個(gè)全等的矩形作為側(cè)面,圍成一個(gè)無蓋的三棱柱(不計(jì)損耗).
(1)若三棱柱的側(cè)面積等于底面積,求此三棱柱的底面邊長;
(2)當(dāng)三棱柱的底面邊長為何值時(shí),三棱柱的體積最大?
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