Question

已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且AB=a，PA=

2

a，
（1）求PC與平面ABCD所成的角；
（2）求AC與PD所成角的余弦值；
（3）求二面角D-PC-B的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，求出

PC

=（a，a，-

2

a），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），由此能求出PC與平面ABCD所成的角．
（2）分別求出

AC

=（a，a，0），

PD

=（0，a，-

2

a），由此利用向量法能求出AC與PD所成角的余弦值．
（3）分別求出平面PCD的法向量和平面PCB的法向量，由此利用向量法能求出二面角D-PC-B的余弦值．

解答： 解：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得P（0，0，

2

a），C（a，a，0），

PC

=（a，a，-

2

a），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
設PC與平面ABCD所成的角為θ，
sinθ=|cos＜

n

，

PC

＞|=|

n • PC

| n |•| PC |

|=

2 a

6 a

=

3

3

，
∴θ=arcsin

3

3

．
∴PC與平面ABCD所成的角為arcsin

3

3

．
（2）A（0，0，0），C（a，a，0），P（0，0，

2

a），D（0，a，0），

AC

=（a，a，0），

PD

=（0，a，-

2

a），
|cos＜

AC

，

PD

＞|=|

AC • PD

| AC |•| PD |

|=

a2

2 a• 3 a

=

6

6

，
∴AC與PD所成角的余弦值為

6

6

．
（3）

PC

=（a，a，-

2

a），

PD

=（0，a，-

2

a），
B（a，0，0），

PB

=（a，0，-

2

a），
設平面PCD的法向量

m

=（x，y，z），平面PCB的法向量

p

=（a，b，c），
則

m • PC =ax+ay- 2 az=0 m • PD =ay- 2 az=0

，取z=

2

，得

m

=（0，2，

2

），
同理，得

p

=（2，0，

2

），
設二面角D-PC-B的平面角為α，
cosα=|cos＜

m

，

p

＞|=|

m • p

| m |•| p |

|=

2

6

=

1

3

，
∴二面角D-PC-B的余弦值為

1

3

．

點評：本題考查直線與平面所成的角的求法，考查直線與直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．