Question

16．已知函數(shù)f（x）=（ax-b）e^x（a≠0）．
①若f（x）≥f（0）恒成立，求f（1）的值；
②f（x）在（a，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 ①若f（x）≥-b恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可求f（1）的值；
②f（x）在（a，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，則f′（x）≤0成立，即可求b的取值范圍．

解答 解：①注意到f（0）=-b，故f（x）≥f（0）恒成立，故f（x）在x=0處取得最小值．
而f′（x）=（ax+a-b）e^x，
由f′（x）=0得ax+a-b=0的根為x=0（此時(shí)a＞0），
則a-b=0，f（1）=（a-b）e=0．…（6分）
②由①知f′（x）=（ax+a-b）e^x，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＜0解得x＜$\frac{b-a}{a}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{b-a}{a}$）上遞減，矛盾；則a＜0，
由f′（x）＜0解得x＞$\frac{b-a}{a}$，故a≥$\frac{b-a}{a}$，
b≤a²+a=（a+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
因此b≤-$\frac{1}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．