Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn).

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+（b－1）（a≠0）.

（1）當(dāng)a=1，b=－2時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+對(duì)稱，求b的最小值.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）f（x）=x2－x－3，因?yàn)?/span>x0為不動(dòng)點(diǎn)，因此有f（x0）=x02－x0－3=x0 所以x0=－1或x0=3，所以3和－1為f（x）的不動(dòng)點(diǎn). （2）因?yàn)?/span>f（x）恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）=x，ax2+bx+（b－1）=0（※），由題設(shè)b2－4a（b－1）＞0恒成立，即對(duì)于任意b∈R，b2－4ab+4a＞0恒成立，所以有（4a）2－4（4a）＜0a2－a＜0，所以0＜a＜1. （3）由（※）式，得，由題設(shè)k=－1，即y=－x+，設(shè)A、B的中點(diǎn)為E，則E（），因?yàn)?/span>xE=yE，所以－ 所以有b=－，因?yàn)?/span>0＜a＜1.當(dāng)且僅當(dāng)2a=時(shí)，即a=時(shí)，b取得最小值，其最小值為－.