Question

已知函數(shù)f（x）=

- 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，函數(shù)g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[-

  2

  3

  ，1]
• B、[

  1

  2

  ，

  4

  3

  ]
• C、[

  4

  3

  ，

  3

  2

  ]
• D、[

  1

  3

  ，2]

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)x的范圍確定函數(shù)f（x）的值域和g（x）的值域，進(jìn)而根據(jù)f（x₁）=g（x₂）成立，推斷出[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，先看當(dāng)二者的交集為空集時刻求得a的范圍，進(jìn)而可求得當(dāng)集合的交集非空時a的范圍．

解答： 解：當(dāng)x∈[0，

1

2

]時，y=

1

6

-

1

3

x，值域是[0，

1

6

]；
x∈（

1

2

，1]時，y=

2x3

x+1

，y′=

4x3+6x2

(x+1)2

＞0恒成立，故為增函數(shù)，值域為（

1

6

，1]．
則x∈[0，1]時，f（x）的值域為[0，1]，
當(dāng)x∈[0，1]時，g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0），
為增函數(shù)，值域是[2-2a，2-

3a

2

]，
∵存在x₁、x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，
若[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]=∅，
則2-2a＞1或2-

3a

2

＜0，即a＜

1

2

，或a＞

4

3

．
∴a的取值范圍是[

1

2

，

4

3

]．
故選：B．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，函數(shù)的值域問題，不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是通過看兩函數(shù)值域之間的關(guān)系來確定a的范圍．