Question

2．當(dāng)0＜x＜a時，不等式$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$≥4恒成立，則a的取值范圍為（0，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$，（0＜x＜a），由題意可得4≤f（x）_min對0＜x＜a成立．求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，解出不等式即可得到a的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$，（0＜x＜a），
由題意可得4≤f（x）_min對0＜x＜a成立．
由f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{3}}$+$\frac{2}{（a-x）^{3}}$=$\frac{2（2x-a）[{x}^{2}+x（a-x）+（a-x）^{2}]}{{x}^{3}（a-x）^{3}}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{a}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)$\frac{a}{2}$＜x＜a時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=$\frac{a}{2}$處f（x）取得極小值，也為最小值，且為$\frac{8}{{a}^{2}}$．
則$\frac{8}{{a}^{2}}$≥4，
解得0＜a≤$\sqrt{2}$．
故答案為：（0，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，同時考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．