Question

設f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），且當x＞0時，0＜f（x）＜1
（1）求f（0）．
（2）證明：x∈R時，恒有f（x）＞0．
（3）求證：f（x）在R上是減函數(shù)．
（4）若f（x）•f（2+x）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)單調性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，再判斷f（0）≠0；
（2）任意的x，y∈R，令x=y=

1

2

x，即可證得對任意的x∈R，有f（x）＞0；
（3）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，利用定義法作差，整理后即可證得差的符號，進而由定義得出函數(shù)的單調性；
（4）由題意得（x）•f（2+x）=f（2+2x）＞1=f（0），得到不等式，解得即可．

解答： 解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0）
∴f（0）=1，或f（0）=0，
若f（0）=0，令y=0，則f（0）=0恒成立，故舍去，
∴f（0）=1
（2）任意的x，y∈R，令x=y=

1

2

x，
則f（x）=f（

1

2

x+

1

2

x）=f（

1

2

x）•f（

1

2

x）=[f（

1

2

x）]²＞0，
∴x∈R時，恒有f（x）＞0．
（3）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＜0
∴f（x₁-x₂）＞f（0）=1
∴f（x₁-x₂）-1＞0
對f（x₂）＞0
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在R上是減函數(shù)
（4）∵f（x）•f（2+x）＞1，
∴f（2+2x）＞1=f（0），
∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴2+2x＜0
解得x＜-1，
故x的取值范圍為（-∞，-1）

點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應用，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形證明函數(shù)單調性的能力．