Question

已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)閇a，b]．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）證明：函數(shù)f（x）在其定義域[a，b]上是增函數(shù)；
（3）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）確定函數(shù)在其定義域[a，b]上，導(dǎo)數(shù)為正，即可得到結(jié)論；
（3）由題意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集，分別確定g（x）的值域、f（x）值域，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：（1）解：當(dāng)k=0時(shí)，4x²-1=0，∴x=±，∴，
∴，
∴f（x）在[]上單調(diào)遞增
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-，]；
（2）證明：求導(dǎo)函數(shù)可得
∵a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根
∴拋物線開口向下，兩根之內(nèi)的函數(shù)值必為正值
∵當(dāng)x∈[a，b]，，∴-x²+kx+1＞0，
∴＞0．
∴函數(shù)f（x）在其定義域[a，b]上是增函數(shù)；
（3）解：由題意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集．
由（1）知，f（x）的值域是，g'（x）=3x²-3m²，g'（x）=0⇒x=±m

x			-m	（-m，m）	m
f'（x）		+		-		+
f（x）		遞增	極大值g（-m）	遞減	極小值g（m）	遞增

顯然，
∴欲使g（x）的值域是f（x）值域的子集，只需，解得：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．