Question

（2010•臺(tái)州一模）某電子科技公司遇到一個(gè)技術(shù)性難題，決定成立甲、乙兩個(gè)攻關(guān)小組，按要求各自獨(dú)立進(jìn)行為期一個(gè)月的技術(shù)攻關(guān)，同時(shí)決定對(duì)攻關(guān)限期內(nèi)攻克技術(shù)難題的小組給予獎(jiǎng)勵(lì)．已知此技術(shù)難題在攻關(guān)期限內(nèi)被甲小組攻克的概率為

2

3

，被乙小組攻克的概率為

3

4

．
（1）設(shè)ξ為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）設(shè)η為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)與沒(méi)有獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)之差的平方，記“函數(shù)f(x)=|η-

1

2

|x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”為事件C，求事件C發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意，ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．
（2）因?yàn)楂@獎(jiǎng)攻關(guān)小組數(shù)的可能取值為0，1，2，相對(duì)應(yīng)的沒(méi)有獲獎(jiǎng)攻關(guān)小組數(shù)的取值為2，1，0．所以η的可能取值為0，4．由P（C）=P（η=4）=P（ξ=0）+P（ξ=2），能求出事件C發(fā)生的概率．

解答：解：（1）由題意，ξ的所有可能取值為0，1，2．
P（ξ=0）=P（

.

A

•

.

B

）=（1-

2

3

）（1-

3

4

）=

1

12

，
P（ξ=1）=P（

.

A

•B）+P（A•

.

B

）=（1-

2

3

）•

3

4

-

2

3

•（1-

3

4

）=

5

12

，
P（ξ=2）=P（A•B）=

2

3

•

3

4

=

1

2

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 12	5 12	1 2

Eξ=

1

12

×0+

5

12

×1+

1

2

×2=

17

12

．
（2）因?yàn)楂@獎(jiǎng)攻關(guān)小組數(shù)的可能取值為0，1，2，
相對(duì)應(yīng)的沒(méi)有獲獎(jiǎng)攻關(guān)小組數(shù)的取值為2，1，0．所以η的可能取值為0，4．
當(dāng)η=0時(shí)，函數(shù)f(x)=|η-

1

2

|x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)η=4時(shí)，函數(shù)f(x)=|η-

1

2

|x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
所以，P（C）=P（η=4）=P（ξ=0）+P（ξ=2）=

1

12

+

1

2

=

7

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．