Question

直線y=kx+b與圓x²+y²=4交于A、B兩點，記△AOB的面積為S（其中O為坐標原點）．
（1）當k=0，0＜b＜2時，求S的最大值；
（2）當b=2，S=1時，求實數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過k=0，求出直線方程，設出A，B坐標，求出|AB|，寫出面積的表達式，利用基本不等式求S的最大值；
（2）當b=2，S=1時，設圓心O到直線y=kx+2的距離為d，求出面積的表達式，得到k²-4|k|+1=0，然后求實數(shù)k的值．
解答：解：（1）當k=0時，直線方程為y=b，
設點A的坐標為（x₁，b），點B的坐標為（x₂，b），
由x²+b²=4，解得，
所以．
所以=．
當且僅當，即時，S取得最大值2．
（2）設圓心O到直線y=kx+2的距離為d，則．
因為圓的半徑為R=2，
所以．
于是，
即k²-4|k|+1=0，解得．
故實數(shù)k的值為，，，．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離，三角形面積公式的應用，考查函數(shù)與方程的思想，計算能力．