Question

已知函數(shù)f(x)=logm

x-3

x+3

（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）若f（x）的定義域?yàn)閇α，β]（β＞α＞0），判斷f（x）在定義域上的增減性，并加以證明；
（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域?yàn)閇log_mm（β-1），log_mm（α-1）]的定義域區(qū)間[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求得f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（3，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．再驗(yàn)證f(-x)=logm

-x-3

-x+3

=logm

x+3

x-3

=logm(

x-3

x+3

)-1=-f(x)，從而可得f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）的定義域?yàn)閇α，β]（β＞α＞0），則[α，β]?（3，+∞）．設(shè)x₁，x₂∈[α，β]，則x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，作差f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

，從而可知當(dāng)0＜m＜1時(shí)，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；當(dāng)m＞1時(shí)，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）為減函數(shù)；m＞1時(shí)，f（x）為增函數(shù)．                   
（3）由（1）得，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在[α，β]為遞減函數(shù)，故若存在定義域[α，β]（β＞α＞0），使值域?yàn)閇log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，則有

logm α-3 α+3 =logmm(α-1) logm β-3 β+3 =logmm(β-1)

，從而問題可轉(zhuǎn)化為α，β是方程

x-3

x+3

=m(x-1)的兩個(gè)解，進(jìn)而問題得解．

解答：解：（1）由

x-3

x+3

＞0得f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（3，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵f(-x)=logm

-x-3

-x+3

=logm

x+3

x-3

=logm(

x-3

x+3

)-1=-f(x)
∴f（x）為奇函數(shù)                     …（3分）
（2）∵f（x）的定義域?yàn)閇α，β]（β＞α＞0），則[α，β]?（3，+∞）．
設(shè)x₁，x₂∈[α，β]，則x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）
即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，
∴當(dāng)0＜m＜1時(shí)，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
當(dāng)m＞1時(shí)，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）為減函數(shù)；m＞1時(shí)，f（x）為增函數(shù)．                      …（7分）
（3）由（1）得，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在[α，β]為遞減函數(shù)，
∴若存在定義域[α，β]（β＞α＞0），使值域?yàn)閇log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，
則有

logm α-3 α+3 =logmm(α-1) logm β-3 β+3 =logmm(β-1)

…（9分）
∴

α-3 α+3 =m(α-1) β-3 β+3 =m(β-1)

∴α，β是方程

x-3

x+3

=m(x-1)的兩個(gè)解…（10分）
解得當(dāng)0＜m＜

2- 3

4

時(shí)，[α，β]=[

1-2m- 16m2-16m+1

2m

，

1-2m+ 16m2-16m+1

2m

]，
當(dāng)

2- 3

4

≤m＜1時(shí)，方程組無解，即[α，β]不存在．                 …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的定義域與值域，同時(shí)考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．