Question

7．如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD四邊上的中點．
（1）若BD=2，AC=6，則EG²+HF²等于多少？
（2）若AC與BD成30°的角，且AC=6，BD=4，則四邊形EFGH的面積等于多少？

Answer 1

分析 （1）由題意得出四邊形EFGH是平行四邊形，求出它的各邊長，再利用余弦定理求出EG²與HF²的表達式，即可得出EG²+HF²的值；
（2）根據(jù)平行線成角定理，再結(jié)合中位線定理，求出四邊形EFGH的面積．

解答 解：（1）∵E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD四邊上的中點，
∴EH∥BD，且EH=$\frac{1}{2}$BD；
FG∥BD，且FG=$\frac{1}{2}$BD；
∴EH∥FG，且EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
又BD=2，AC=6，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD=1，EF=$\frac{1}{2}$AC=3，

在△EFG和△HFG中，由余弦定理得，
EG²=EF²+FG²-2EF•FG•cos∠EFG
=3²+1²-2×3×1×cos∠EFG
=10-6cos∠EFG，
HF²=HG²+FG²-2HG•FG•cos∠FGH
=3²+1²-2×3×1×cos（π-∠EFG）
=10+6cos∠EFG，
∴EG²+HF²=20；
（2）∵AC與BD成30°的角，且EF∥AC，F(xiàn)G∥BD，
∴∠EFG=30°，
又AC=6，BD=4，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=3，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD=2；
∴四邊形EFGH的面積為S=EF•FG•sin∠EFG=3×2×sin30°=3．

點評 本題考查了空間中的平行關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了正弦和余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．