Question

設(shè)s，t為正整數(shù)，兩直線l1：

t

2s

x+y-t=0與l2：

t

2s

x-y=0的交點是（x₁，y₁），對于正整數(shù)n（n≥2），過點（0，t）和（x_n-1，0）的直線與直線l₂的交點記為（x_n，y_n）．
（1）求數(shù)列{x_n}通項公式；
（2）求數(shù)列{x_nx_n+1}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩直線l1：

t

2s

x+y-t=0與l2：

t

2s

x-y=0的交點是（x₁，y₁），對于正整數(shù)n（n≥2），過點（0，t）和（x_n-1，0）的直線與直線l₂的交點記為（x_n，y_n），可得x1=s，xn=

2sxn-1

2s+xn-1

，取倒數(shù)，即可得到{

1

xn

}為等差數(shù)列，且首項為

1

s

，公差為

1

2s

，從而可求數(shù)列{x_n}通項公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{x_nx_n+1}通項的特點，裂項求和，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）依題意，∵兩直線l1：

t

2s

x+y-t=0與l2：

t

2s

x-y=0的交點是（x₁，y₁），對于正整數(shù)n（n≥2），過點（0，t）和（x_n-1，0）的直線與直線l₂的交點記為（x_n，y_n），
∴x1=s，xn=

2sxn-1

2s+xn-1

∴

1

xn

=

1

xn-1

+

1

2s

(n≥2)
∴{

1

xn

}為等差數(shù)列，且首項為

1

s

，公差為

1

2s

∴

1

xn

=

1

s

+(n-1)•

1

2s

∴xn=

2s

n+1

（2）xnxn+1=

4s2

(n+1)(n+2)

=4s2(

1

n+1

-

1

n+2

)
∴Sn=4s2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]=4s2(

1

2

-

1

n+2

)=

2ns2

n+2

點評：本題考查直線的交點、數(shù)列通項的求法，考查數(shù)列的求和，綜合性較強，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．