Question

已知四面體ABCD中，BD=

3

，BC=DC=1，其余棱長均為2，且四面體ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D都在同一個球面上，則這個球的表面積是（　　）

• A．

  2π

  3

• B．

  4π

  3

• C．

  8π

  3

• D．

  16π

  3

Answer 1

分析：由已知中四面體ABCD中，已知，BD=

3

，BC=DC=1，其余棱長均為2，我們設(shè)A在底面BCD上的射影為E，球的球心為O，利用解直角三角形，求出四面體ABCD外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求出四面體ABCD外接球的面積．

解答：解：設(shè)A在底面BCD上的射影為E，球的球心為O，如圖．
由正弦定理得：2BE=

BD

sin∠BCD

=

3

sin120°

=2，
∴BE=1，
在直角三角形ABE中，AE=

AB 2-BE 2

=

4-1

=

3

，
設(shè)OA=OB=R，在直角三角形BEO中，OB²=OE²+BE²，
即R²=1²+（

3

-R）²，
∴R=

2

3

則這個球的表面積是4πR²=

16π

3

，
故選D．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積和球的表面積，其中計算外接球的半徑，確定棱錐的高是關(guān)鍵，而求三棱錐的外接球表面積時，最難的問題是求外接球的半徑．