如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．
（1）求作平面PAD與平面PBC的交線，并加以證明；
（2）求PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的正切值．
分析：（1）直接過(guò)P作BC的平行線L，根據(jù)線面平行可以證得L即為所求；
（2）求出A到平面PBC的距離為h（可以利用等體積法），再與PA作比值，即為PA與平面PBC所成角的正弦值．
（3）取BC中點(diǎn)M，連PM、DM，則PM⊥BC，結(jié)合PD⊥BC，又BC∥L，可得∠DPM為所求，然后求出∠DPM的正切值即可．
解答：解：（1）過(guò)P作BC的平行線L即為所求．（2分）
因?yàn)锽C∥AD，BC?面PAD，AD⊆面PAD，
所以BC∥平面PAD，
因?yàn)槠矫鍼AD∩平面PBC=L，
所以BC∥L  （5分）
（2）解：設(shè)PD=AD=1，設(shè)A到平面PBC的距離為h，
則由題意PA=PB=PC=
2
，S△ABC=
1
2
×
3
×
1
2
=
3
4

在等腰△PBC中，可求S△PBC=
1
2
×1×
(
2
)2- (
1
2
)2
=
7
4

∴V A-PBC=V P-ABC，
1
3
×h×
7
4
=
1
3
×1×
3
4
，h=
21
7

∴sinθ=
h
PA
=
21
7
2
=
42
14

（3）由題意可知，PA=PB=PC=
2
，取BC中點(diǎn)M，連PM、DM，則PM⊥BC，
因?yàn)镻D⊥BC，又BC∥L，
所以∠DPM為所求．（8分）
DM=DC•sin60°=
3
2
；
在Rt△PDM中，tan∠DPM=
DM
PD
=
3
2
1
=
3
2
（12分）
即平面PAD與平面PBC所成銳二面角的正切值為：
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線和直線垂直的判定．線面角求解．考查空間想象、推理論證能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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