Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）與g（x）=log_a（-x+1）（a＞0且a≠1）．
（1）若函數(shù)f（x）=log_a（x+1）過(guò)點(diǎn)（7，3），求g（

7

8

）的值；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解不等式2f（x）≥g（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)（7，3），便說(shuō)明該點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，所以帶入解析式便可求出a．從而求出g（x），然后將

7

8

代入g（x）便求得g（

7

8

）．
（2）把f（x），g（x）帶入不等式2f（x）≥g（x），在根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在0＜a＜1時(shí)的單調(diào)性得到不等式

(x+1)2

-x+1

≤3，為使函數(shù)f（x），g（x）有意義，再限制x：x+1＞0，且-x+1＞0，解這幾個(gè)不等式，便得到原不等式的解．

解答： 解：（1）由題意得：3=log_a8，
∴a³=8，∴a=2；
∴g（

7

8

）=log2(-

7

8

+1)=log22-3=-3．
（2）解不等式2f（x）≥g（x），
即解2log_a（x+1）≥log_a（-x+1），即解loga(x+1)2≥loga(-x+1)；
∵0＜a＜1，∴對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_ax是減函數(shù)；
∴由loga(x+1)2≥loga(-x+1)得

x+1＞0 -x+1＞0 (x+1)2≤-x+1

；
解得：-1＜x≤0；
∴不等式的解集是（-1，0]．

點(diǎn)評(píng)：理解函數(shù)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，第二問(wèn)解不等式時(shí)，別忘了限制x使函數(shù)f（x），g（x）有意義．