Question

給定兩個命題：p：對任意實數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：關于x的方程x²-x+a=0有實數(shù)根，如果p和q中至少有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)二次函數(shù)恒成立的充要條件，我們可以求出命題p為真時，實數(shù)a的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)有實根的充要條件，我們可以求出命題q為真時，實數(shù)a的取值范圍，則命題p，q中一個為真，分類討論后，即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：對任意實數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或

a＞0 △＜0

?0≤a＜4；
關于x的方程x²-x+a=0有實數(shù)根?△=1-4a≥0?a≤

1

4

；
p和q中至少有一個為真命題
如果p真q假，則有0≤a＜4，且a＞

1

4

，
∴

1

4

＜a＜4；
如果p假q真，則有a＜0，或a≥4，且a≤

1

4

∴a＜0；
如果p真q真，則有0≤a＜4，且a≤

1

4

，
∴0≤a≤

1

4

；
所以實數(shù)a的取值范圍為（-∞，4）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，復合命題的真假，函數(shù)恒成立問題，其中判斷出命題p與命題q為真時，實數(shù)a的取值范圍，是解答本題的關鍵．