Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$（n∈N^*），求數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得a_n，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$-$[\frac{3}{2}（n-1）^{2}-\frac{n-1}{2}]$=3n-2，
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=3n-2．
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{3n-2}+\sqrt{3n+1}}$=$\frac{1}{3}（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{3}[（\sqrt{4}-\sqrt{1}）+（\sqrt{7}-\sqrt{4}）$+…+$（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）]$
=$\frac{1}{3}$$（\sqrt{3n+1}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．